CS 229 - 機器學習

機率和統計回顧

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作者： 阿夫辛·阿米迪 和 謝爾文·阿米迪

翻譯者： kevingo

審校者： 徐承漢

幾率與組合數學介紹

樣本空間 一個實驗的所有可能結果的集合稱之為這個實驗的樣本空間，記做 $S$

事件 樣本空間的任何子集合 $E$ 被稱之為一個事件。也就是說，一個事件是實驗的可能結果的集合。如果該實驗的結果包含 $E$，我們稱我們稱 $E$ 發生

機率公理 對於每個事件 $E$， we 用 $P(E)$ 表示事件 $E$ 發生的機率

公理 1 ― 每一個機率值介於 0 到 1 之間，包含兩端點。即：

\[\boxed{0\leqslant P(E)\leqslant 1}\]

公理 2 ― 至少一個基本事件出現在整個樣本空間中的機率是 1。即：

\[\boxed{P(S)=1}\]

公理 3 ― 對於任何互斥的事件 $E_1, ..., E_n$，我們定義如下：

\[\boxed{P\left(\bigcup_{i=1}^nE_i\right)=\sum_{i=1}^nP(E_i)}\]

排列 排列指的是從 $n$ 個相異的物件中，取出 $r$ 個物件按照固定順序重新安排，這樣安排的數量用 $P(n, r)$ 來表示，定義為：

\[\boxed{P(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!}}\]

組合 組合指的是從 $n$ 個物件中，取出 $r$ 個物件，但不考慮他的順序。這樣組合要考慮的數量用 $C(n, r)$ 來表示，定義為：

\[\boxed{C(n, r)=\frac{P(n, r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}}\]

注意：對於 $0\leqslant r\leqslant n$，我們會有 $P(n,r)\geqslant C(n,r)$

條件機率

貝氏定理 對於事件 $A$ 和 $B$ 滿足 $P(B)>0$ 時，我們定義如下：

\[\boxed{P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}}\]

注意：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)$

分割 令 $\{A_i, i\in[\![1,n]\!]\}$ 對所有的 $i$，$A_i\neq\varnothing$，我們說 $\{A_i\}$ 是一個分割，當底下成立時：

\[\boxed{\forall i\neq j, A_i\cap A_j=\emptyset\quad\textrm{ and }\quad\bigcup_{i=1}^nA_i=S}\]

注意：對於任何在樣本空間的事件 $B$ 來說，$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$

貝氏定理的擴展 令 $\{A_i, i\in[\![1,n]\!]\}$ 為樣本空間的一個分割，我們定義：

\[\boxed{P(A_k|B)=\frac{P(B|A_k)P(A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)}}\]

獨立 當以下條件滿足時，兩個事件 $A$ 和 $B$ 為獨立事件：

\[\boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)}\]

隨機變數

定義

隨機變數 一個隨機變數 $X$，它是一個將樣本空間中的每個元素映射到實數域的函數

累積分佈函數 (CDF) 累積分佈函數 $F$ 是單調遞增的函數，其 $\underset{x\rightarrow-\infty}{\textrm{lim}}F(x)=0$ 且 $\underset{x\rightarrow+\infty}{\textrm{lim}}F(x)=1$，定義如下：

\[\boxed{F(x)=P(X\leqslant x)}\]

注意：$P(a < X\leqslant B)=F(b)-F(a)$

機率密度函數 機率密度函數 $f$ 是隨機變數 $X$ 在兩個相鄰的實數值附近取值的機率

機率密度函數和累積分佈函數的關係 底下是一些關於離散 (D) 和連續 (C) 的情況下的重要屬性

情況累積分佈函數 $F$機率密度函數 $f$機率密度函數的屬性
(D)$\displaystyle F(x)=\sum_{x_i\leqslant x}P(X=x_i)$$f(x_j)=P(X=x_j)$$\displaystyle0\leqslant f(x_j)\leqslant1\textrm{ and }\sum_{j}f(x_j)=1$
(C)$\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^xf(y)dy$$f(x)=\displaystyle \frac{dF}{dx}$$\displaystyle f(x)\geqslant0\textrm{ and }\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

分佈的期望值和動差 底下是期望值 $E[X]$、一般期望值 $E[g(X)]$、第 $k$ 個動差和特徵函數 $\psi(\omega)$ 在離散和連續的情況下的表示式：

Case$E[X]$$E[g(X)]$$E[X^k]$$\psi(\omega)$
(D)$\displaystyle \sum_{i=1}^nx_if(x_i)$$\displaystyle \sum_{i=1}^ng(x_i)f(x_i)$$\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^kf(x_i)$$\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_i)e^{i\omega x_i}$
(C)$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^kf(x)dx$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}dx$

變異數 隨機變數的變異數通常表示為 Var$(X)$ 或 $\sigma^2$，用來衡量一個分佈離散程度的指標。其表示如下：

\[\boxed{\textrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2}\]

標準差 一個隨機變數的標準差通常表示為 $\sigma$，用來衡量一個分佈離散程度的指標，其單位和實際的隨機變數相容，表示如下：

\[\boxed{\sigma=\sqrt{\textrm{Var}(X)}}\]
Standard deviation

隨機變數的轉換 令變數 $X$ 和 $Y$ 由某個函式連結在一起。我們定義 $f_X$ 和 $f_Y$ 是 $X$ 和 $Y$ 的分佈函式，可以得到：

\[\boxed{f_Y(y)=f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|}\]

萊布尼茲積分法則 令 $g$ 為 $x$ 和 $c$ 的函數，$a$ 和 $b$ 是依賴於 $c$ 的的邊界，我們得到：

\[\boxed{\frac{\partial}{\partial c}\left(\int_a^bg(x)dx\right)=\frac{\partial b}{\partial c}\cdot g(b)-\frac{\partial a}{\partial c}\cdot g(a)+\int_a^b\frac{\partial g}{\partial c}(x)dx}\]

機率分佈

柴比雪夫不等式 令 $X$ 是一隨機變數，期望值為 $\mu$。對於 $k, \sigma>0$，我們有以下不等式：

\[\boxed{P(|X-\mu|\geqslant k\sigma)\leqslant\frac{1}{k^2}}\]

主要分佈 底下是我們需要熟悉的幾個主要的分佈：

種類分佈PDF$\psi(\omega)$$E[X]$$\textrm{Var}(X)$示意圖
(D)$X\sim\mathcal{B}(n, p)$$\displaystyle \displaystyle\binom{n}{x} p^xq^{n-x}$$(pe^{i\omega}+q)^n$$np$$npq$Binomial distribution
(D)$X\sim\textrm{Po}(\mu)$$\displaystyle \frac{\mu^x}{x!}e^{-\mu}$$e^{\mu(e^{i\omega}-1)}$$\mu$$\mu$Poisson distribution
(C)$X\sim\mathcal{U}(a, b)$$\displaystyle \frac{1}{b-a}$$\displaystyle\frac{e^{i\omega b}-e^{i\omega a}}{(b-a)i\omega}$$\displaystyle\frac{a+b}{2}$$\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}$Uniform distribution
(C)$X\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma)$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$e^{i\omega\mu-\frac{1}{2}\omega^2\sigma^2}$$\mu$$\sigma^2$Normal distribution
(C)$X\sim\textrm{Exp}(\lambda)$$\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}$$\displaystyle\frac{1}{1-\frac{i\omega}{\lambda}}$$\displaystyle\frac{1}{\lambda}$$\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}$Exponential distribution

聯合分佈隨機變數

邊緣密度和累積分佈 從聯合密度機率函數 $f_{XY}$ 中我們可以得到：

種類邊緣密度函數累積函數
(D)$\displaystyle f_X(x_i)=\sum_{j}f_{XY}(x_i,y_j)$$\displaystyle F_{XY}(x,y)=\sum_{x_i\leqslant x}\sum_{y_j\leqslant y}f_{XY}(x_i,y_j)$
(C)$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy$$\displaystyle F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_{XY}(x',y')dx'dy'$

條件密度 $X$ 對於 $Y$ 的條件密度，通常用 $f_{X|Y}$ 表示如下：

\[\boxed{f_{X|Y}(x)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}}\]

獨立 當滿足以下條件時，我們稱隨機變數 $X$ 和 $Y$ 互相獨立：

\[\boxed{f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}\]

共變異數 我們定義隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的共變異數為 $\sigma_{XY}^2$ 或 $\textrm{Cov}(X,Y)$ 如下：

\[\boxed{\textrm{Cov}(X,Y)\triangleq\sigma_{XY}^2=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-\mu_X\mu_Y}\]

相關 我們定義 $\sigma_X$、$\sigma_Y$ 為 $X$ 和 $Y$ 的標準差，而 $X$ 和 $Y$ 的相關係數 $\rho_{XY}$ 定義如下：

\[\boxed{\rho_{XY}=\frac{\sigma_{XY}^2}{\sigma_X\sigma_Y}}\]

注意一：對於任何隨機變數 X 和 Y 來說，$\rho_{XY}\in[-1,1]$ 成立

注意二：當 $X$ 和 $Y$ 獨立時，$\rho_{XY} = 0$

參數估計

定義

隨機抽樣 隨機抽樣指的是 $n$ 個隨機變數 $X_1, ..., X_n$ 和 $X$ 獨立且同分佈的集合

估計量 估計量是一個資料的函數，用來推斷在統計模型中未知參數的值

偏差 一個估計量的偏差 $\hat{\theta}$ 定義為 $\hat{\theta}$ 分佈期望值和真實值之間的差距：

\[\boxed{\textrm{Bias}(\hat{\theta})=E[\hat{\theta}]-\theta}\]

注意：當 $E[\hat{\theta}]=\theta$ 時，我們稱為不偏估計量

平均數

樣本平均 一個隨機樣本的樣本平均是用來預估一個分佈的真實平均 $\mu$，通常我們用 $\overline{X}$ 來表示，定義如下：

\[\boxed{\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i}\]

注意：當 $E[\overline{X}]=\mu$ 時，則為不偏樣本平均

中央極限定理 當我們有一個隨機樣本 $X_1, ..., X_n$ 滿足一個給定的分佈，其平均數為 $\mu$，變異數為 $\sigma^2$，我們有：

\[\boxed{\overline{X}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)}\]

變異數

樣本變異數 一個隨機樣本的樣本變異數是用來估計一個分佈的真實變異數 $\sigma^2$，通常使用 $s^2$ 或 $\hat{\sigma}^2$ 來表示，定義如下：

\[\boxed{s^2=\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}\]

注意：當 $E[s^2]=\sigma^2$ 時，稱之為不偏樣本變異數

與樣本變異數的卡方關聯 令 $s^2$ 是一個隨機樣本的樣本變異數，我們可以得到：

\[\boxed{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2}\]