CS 229 - Aprendizado de máquina

Revisão de álgebra linear e cálculo
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Conteúdo original por Afshine Amidi e Shervine Amidi
Traduzido por Gabriel Fonseca. Revisado por Leticia Portella.

Notações gerais

Definições

Vetor Indicamos por $x\in\mathbb{R}^n$ um vetor com $n$ elementos, onde $x_i\in\mathbb{R}$ é o $i^{ésimo}$ elemento:

\[x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\in\mathbb{R}^n\]

Matriz Indicamos por $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas, onde $A_{i,j}\in\mathbb{R}$ é o elementos localizado na $i^{ésima}$ linha e $j^{ésima}$ coluna:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}A_{1,1}& \cdots&A_{1,n}\\\vdots&& \vdots\\A_{m,1}& \cdots&A_{m,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}\]

Observação: o vetor $x$ defindo acima pode ser visto como uma matriz $n\times1$ e é mais particularmente chamado de vetor coluna.


Matrizes principais

Matriz identidade A matriz identidade $I\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz quadrada com uns na sua diagonal e zeros nas demais posições:

\[I=\left(\begin{array}{cccc}1&0& \cdots&0\\0& \ddots& \ddots& \vdots\\\vdots& \ddots& \ddots&0\\0& \cdots&0&1\end{array}\right)\]

Observação: para todas as matrizes $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, nós temos $A\times I=I\times A=A$.


Matriz diagonal Uma matriz diagonal $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz quadrada com valores não nulos na sua diagonal e zeros nas demais posições:

\[D=\left(\begin{array}{cccc}d_1&0& \cdots&0\\0& \ddots& \ddots& \vdots\\\vdots& \ddots& \ddots&0\\0& \cdots&0&d_n\end{array}\right)\]

Observação: nós também indicamos $D$ como $\textrm{diag}(d_1,...,d_n)$.


Operações de matriz

Multiplicação

Vetor-vetor Há dois tipos de produtos vetoriais:

- Produto interno: para $x,y\in\mathbb{R}^n$, temos:

\[\boxed{x^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_i\in\mathbb{R}}\]

- Produto tensorial: para $x\in\mathbb{R}^m, y\in\mathbb{R}^n$, temos :

\[\boxed{xy^T=\left(\begin{array}{ccc}x_1y_1& \cdots&x_1y_n\\\vdots&& \vdots\\x_my_1& \cdots&x_my_n\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}}\]

Matriz-vetor O produto de uma matriz $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ e um vetor $x\in\mathbb{R}^{n}$ é um vetor de tamanho $\mathbb{R}^{m}$, de tal modo que:

\[\boxed{Ax=\left(\begin{array}{c}a_{r,1}^Tx\\\vdots\\a_{r,m}^Tx\end{array}\right)=\sum_{i=1}^na_{c,i}x_{i}\in\mathbb{R}^{m}}\]
onde $a_{r,i}^T$ são vetores linhas e $a_{c,j}$ vetores colunas de $A$, e $x_i$ são os elementos de $x$.


Matriz-matriz O produto das matrizes $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ e $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$ é uma matriz de tamanho $\mathbb{R}^{m\times p}$, de tal modo que:

\[\boxed{AB=\left(\begin{array}{ccc}a_{r,1}^Tb_{c,1}& \cdots&a_{r,1}^Tb_{c,p}\\\vdots&& \vdots\\a_{r,m}^Tb_{c,1}& \cdots&a_{r,m}^Tb_{c,p}\end{array}\right)=\sum_{i=1}^na_{c,i}b_{r,i}^T\in\mathbb{R}^{m\times p}}\]
onde $a_{r,i}^T, b_{r,i}^T$ são vetores linhas e $a_{c,j}, b_{c,j}$ vetores colunas de $A$ e $B$ respectivamente.


Outras operações

Transposta A transposta de uma matriz $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, indicada por $A^T$, é tal que suas linhas são trocadas por suas colunas:

\[\boxed{\forall i,j,\quad\quad A_{i,j}^T=A_{j,i}}\]

Observação: para matrizes $A, B$, temos $(AB)^T=B^TA^T$.


Inversa A inversa de uma matriz quadrada inversível $A$ é indicada por $A^{−1}$ e é uma matriz única de tal modo que:

\[\boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}\]

Observação: nem todas as matrizes quadrada são inversíveis. Também, para matrizes $A,B$, temos $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.


Traço O traço de uma matriz quadrada $A$, indicado por $\textrm{tr}(A)$, é a soma dos elementos de sua diagonal:

\[\boxed{\textrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^nA_{i,i}}\]

Observação: para matrizes $A, B$, temos $\textrm{tr}(A^T)=\textrm{tr}(A)$ e $\textrm{tr}(AB)=\textrm{tr}(BA)$.


Determinante A determinante de uma matriz quadrada $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, indicada por $|A|$ ou $\textrm{det}(A)$ é expressa recursivamente em termos de $A_{\backslash i, \backslash j}$, a qual é a matriz $A$ sem a sua $i^{ésima}$ linha e $j^{ésima}$ coluna, como se segue:

\[\boxed{\textrm{det}(A)=|A|=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}A_{i,j}|A_{\backslash i,\backslash j}|}\]

Observação: $A$ é inversível se e somente se $|A|\neq0$. Além disso, $|AB|=|A||B|$ e $|A^T|=|A|$.


Propriedades da matriz

Definições

Decomposição simétrica Uma dada matriz $A$ pode ser expressa em termos de suas partes simétricas e assimétricas como a seguir:

\[\boxed{A=\underbrace{\frac{A+A^T}{2}}_{\textrm{Simétrica}}+\underbrace{\frac{A-A^T}{2}}_{\textrm{Assimétrica}}}\]

Norma Uma norma é uma função $N:V\longrightarrow[0,+\infty[$ onde $V$ é um vetor espaço, e de tal modo que para todo $x,y\in V$, nós temos:

- $N(x+y)\leqslant N(x)+N(y)$
- $N(ax)=|a|N(x)$ para $a$ escalar
- se $N(x)=0$, então $x=0$

Para $x\in V$, as mais comumente utilizadas normas estão resumidas na tabela abaixo:

Norma Notação Definição Caso de uso
Manhattan, $L^1$ $||x||_1$ $\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i|$ LASSO
Euclidean, $L^2$ $||x||_2$ $\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}$ Ridge
$p$-norme, $L^p$ $||x||_p$ $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$ Desigualdade de Hölder
Infini, $L^{\infty}$ $||x||_{\infty}$ $\underset{i}{\textrm{max }}|x_i|$ Convergência uniforme

Dependência linear Um conjunto de vetores é dito ser linearmente dependete se um dos vetores no conjunto puder ser definido como uma combinação linear dos demais.

Observação: se nenhum vetor puder ser escrito dessa maneira, então os vetores são ditos serem linearmente independentes.


Posto da matriz O posto de uma dada matriz $A$ é indicada por $\textrm{rank}(A)$ e é a dimensão do vetor espaço gerado por suas colunas. Isso é equivalente ao número máximo de colunas linearmente independentes de $A$.


Matriz positiva semi-definida Uma matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é positiva semi-definida (PSD) e é indicada por $A\succeq 0$ se tivermos:

\[\boxed{A=A^T}\quad\textrm{ e }\quad\boxed{\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad x^TAx\geqslant0}\]

Observação: de forma similar, uma matriz $A$ é dita ser positiva definida, e é indicada por $A\succ0$ se ela é uma matriz (PSD) que satisfaz todo vetor $x$ não nulo, $x^TAx>0$.


Autovalor, autovetor Dada uma matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $\lambda$ é dita ser um autovalor de $A$ se existe um vetor $z\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$, chamado autovetor, nós temos:

\[\boxed{Az=\lambda z}\]

Teorema spectral Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Se $A$ é simétrica, então $A$ é diagonalizável por uma matriz ortogonal $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Indicando $\Lambda=\textrm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$, nós temos:

\[\boxed{\exists\Lambda\textrm{ diagonal},\quad A=U\Lambda U^T}\]

Decomposição em valor singular Para uma dada matriz $A$ de dimensões $m\times n$, a decomposição em valor singular (SVD) é uma técnica de fatorização que garante a existência de matrizes unitária $U$ $m\times m$, diagonal $\Sigma$ $m\times n$ e unitária $V$ $n\times n$, de tal modo que:

\[\boxed{A=U\Sigma V^T}\]

Cálculo com matriz

Gradiente Seja $f:\mathbb{R}^{m\times n}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função e $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ uma matriz. O gradiente de $f$ a respeito a $A$ é a matriz $m\times n$, indicada por $\nabla_A f(A)$, de tal modo que:

\[\boxed{\Big(\nabla_A f(A)\Big)_{i,j}=\frac{\partial f(A)}{\partial A_{i,j}}}\]

Observação: o gradiente de $f$ é somente definido quando $f$ é uma função que retorna um escalar.


Hessiano Seja $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função e $x\in\mathbb{R}^{n}$ um vetor. O hessiano de $f$ a respeito a $x$ uma matriz simétrica $n\times n$, indicada por $\nabla_x^2 f(x)$, de tal modo que:

\[\boxed{\Big(\nabla_x^2 f(x)\Big)_{i,j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\partial x_j}}\]

Observação: o hessiano de $f$ é somente definifo quando $f$ é uma função que retorna um escalar.


Operações com gradiente Para matrizes $A,B,C$, as seguintes propriedade de gradiente valem a pena ter em mente:

\[\boxed{\nabla_A\textrm{tr}(AB)=B^T}\quad\quad\boxed{\nabla_{A^T}f(A)=\left(\nabla_Af(A)\right)^T}\] \[\boxed{\nabla_A\textrm{tr}(ABA^TC)=CAB+C^TAB^T}\quad\quad\boxed{\nabla_A|A|=|A|(A^{-1})^T}\]