manipulating chain complexes

manipulating chain complexes

There are several natural ways to handle chain complexes; for details, see ChainComplex. Let's illustrate by making two chain complexes.

i1 : R = QQ[x,y];

i2 : M = coker vars R



o2 = cokernel | x y |



                            1

o2 : R-module, quotient of R

i3 : N = coker matrix {{x}}



o3 = cokernel | x |



                            1

o3 : R-module, quotient of R

i4 : C = res M



      1      2      1

o4 = R  <-- R  <-- R  <-- 0

                           

     0      1      2      3



o4 : ChainComplex

i5 : D = res N



      1      1

o5 = R  <-- R  <-- 0

                    

     0      1      2



o5 : ChainComplex

We can form the direct sum as follows.

i6 : C ++ D



      2      3      1

o6 = R  <-- R  <-- R  <-- 0

                           

     0      1      2      3



o6 : ChainComplex

We can shift the degree, using the traditional notation.

i7 : E = C[5]



      1      2      1

o7 = R  <-- R  <-- R  <-- 0

                           

     -5     -4     -3     -2



o7 : ChainComplex

i8 : E_-4 == C_1



o8 = true

The same syntax can be used to make a chain complex from a single module.

i9 : R^4[1]



      4

o9 = R

      

     -1



o9 : ChainComplex

We can form various tensor products with **, and compute Tor using them.

i10 : M ** D



o10 = cokernel | x y | <-- cokernel {1} | x y |

                            

      0                    1



o10 : ChainComplex

i11 : C ** D



       1      3      3      1

o11 = R  <-- R  <-- R  <-- R  <-- 0 <-- 0

                                         

      0      1      2      3      4     5



o11 : ChainComplex

i12 : prune HH_1(C ** D)



o12 = cokernel {1} | y x |



                             1

o12 : R-module, quotient of R

i13 : prune HH_1(M ** D)



o13 = cokernel {1} | y x |



                             1

o13 : R-module, quotient of R

i14 : prune HH_1(C ** N)



o14 = cokernel {1} | y x |



                             1

o14 : R-module, quotient of R

Of course, we can use Tor to get the same result.

i15 : prune Tor_1(M,N)



o15 = cokernel {1} | y x |



                             1

o15 : R-module, quotient of R